Enunciado

Crescimento de um monte de areia Areia cai de uma esteira transportadora a uma taxa de 10 m3/min no topo de um monte cônico. A altura do monte sempre tem três oitavos do diâmetro da base.

Qual a taxa de variação da

  1. altura e do
  2. raio

Quando o monte tiver 4 m de altura? Responda em cm/min.

Passo 1

Primeiramente anotar os dados da questão:

d V d t = 10 m 3 m i n

h = 3 8 d = 3 4 r

h = 4 m

O que nos dá:

r = 4 h 3

No final a questão pede para a resposta ser em metros, a conversão é :

1 m = 100   c m

Passo 2

O volume de um cone é dado por:

V = π r 2 h 3

O que é sempre 1 3 do volume de um cilindro

Utilizando a relação entre altura e raio temos:

V = 1 3 π 16 9 h 3 = 16 27 π h 3

Passo 3

Derivando a equação do Volume em função da altura no tempo temos:

d V d t = 16 27 π 3 h 2 d h d t

Arrumando:

d V d t = 16 9 π h 2 d h d t

Substituindo os valores dados da questão:

10 m 3 m i n = 16 9   π × 4 2 m 2 × d h d t

d h d t = 0.1119 m m i n

Resposta

Convertendo a resposta temos:

d h d t = 11.19 c m m i n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em (a) a (d), seja A a área de um círculo de raio r e suponha que r cresça com o tempo t . (a) Faça uma figura do círculo colocando A e r apropriadamente. (b) Escreva uma equação que relacione A e r .
Tanto x quanto y denotam funções de t que estão relacionadas pela equação dada. Use essa equação e a informação sobre a derivada para encontrar a derivada especificada.Equação: x 2+y 2=2 x+4 y (a) Dad
Tanto x quanto y denotam funções de t que estão relacionadas pela equação dada. Use essa equação e a informação sobre a derivada para encontrar a derivada especificada.Equação: 4 x 2+9 y 2=1 (a) Dado
Suponha que z=x 3 y 2 , onde x e y estão variando com o tempo. Em um certo instante, quando x=1 e y=2 , x está decrescendo a uma taxa de 2u n i d a d e s / s e y está crescendo a uma taxa de 3u n i d
Uma prancha de 10m está apoiada em uma parede. Se em um certo instante sua base está a 2m da parede e sendo empurrada em direção a esta a uma taxa de 0,5m / s , com que rapidez estará crescendo o ângu