Enunciado

7. Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas

lim x → 2 ⁡ f x = - ∞       lim x → ∞ ⁡ f x = ∞           lim x → - ∞ ⁡ f x = 0

lim x → 0 + ⁡ f x = ∞         lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😊

Nesse problema queremos obter um esboço do gráfico da função descrita por umas dadas condições no enunciado.

Nossas condições são as seguintes:

lim x → 2 ⁡ f x = - ∞       lim x → ∞ ⁡ f x = ∞           lim x → - ∞ ⁡ f x = 0

lim x → 0 + ⁡ f x = ∞         lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞

Parece complicado? 👀

Repara que aparece “infinito” em todos os limites que ele deu. Isso já nos induz a pensar em assíntotas horizontais e verticais.

Lembrando das definições de assíntotas horizontais:

- A reta y = L é chamada assíntota horizontal da curva y = f x se:

lim x → ∞ ⁡ f x = L ou lim x → - ∞ ⁡ f x = L

Já para assíntotas verticais:

- A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f x se:

lim x → a + ⁡ f x = ± ∞ ou lim x → a - ⁡ f x = ± ∞

Passo 2

Foi dito que lim x → 2 ⁡ f x = - ∞ .

Esse dado nos diz que lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ f x = - ∞ , ou seja, temos uma assíntota vertical em x = 2 em que ambos os lados dessa assíntota tendem a - ∞ .

Traçando a reta x = 2 (em laranja) e as setinhas indicando que o limite vai pra menos infinito:

Passo 3

Agora para lim x → 0 + ⁡ f x = ∞ e lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞ temos que em x = 0 temos outra assíntota vertical, mas dessa vez a função f tende a pela direita e - ∞ pela esquerda.

Traçando a reta x = 0 em verde e as setinhas indicando que vai pra mais infinito pela direita e pra menos infinito pela esquerda:

Passo 4

E por fim, foi dito que lim x → - ∞ ⁡ f x = 0 e lim x → ∞  ⁡ f x = ∞ ou seja, se f tende a 0 quando x tende a - ∞ e f tende a quando x tende a .

Traçando a reta y = 0 (em vermelho) e as setinhas indicando que quando x tende a menos infinito, o limite é igual a zero e que quando x tende a mais infinito, o limite é mais infinito:

Com base nessas afirmações o gráfico de f terá a seguinte característica.

E aí! o que achou? Responde Aí! 😇

Resposta

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