Esboce o gráfico da função racional:

y = 8 / (x^2 + 4)

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R , já que o denominador nunca vai zerar.

Vamos calcular a derivada primeira e segunda:

y ' = - 2 x   8 x 2 + 4 2   =   - 16 x x 2 + 4 2

y ' ' = - 16 x 2 + 4 2 - 2 x 2 + 4 2 x - 16 x x 2 + 4 4 =   - 16 x 2 + 4 - 4 x - 16 x x 2 + 4 3 = - 16 x 2 - 64 + 64 x 2 x 2 + 4 3 = 48 x 2 - 64 x 2 + 4 3

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' =   - 16 x x 2 + 4 2 = 0 → 16 x = 0 → x = 0  

E pelo teste da derivada segunda, temos:

y ' ' 0 =   - 1 < 0

Então, temos um ponto de máximo em x = 0 , dado pelo ponto ( 0,2 )

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

Veja que: - 16 x x 2 + 4 2 > 0 → - 16 x > 0 (pois o denominador nesse caso é sempre positivo)

- 16 x > 0 → 16 x < 0 → x < 0

Então, a função é crescente em ( - ∞ ,   0 ) e decrescente em ( 0 ,   ∞ ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y ' ' =   48 x 2 - 64 x 2 + 4 3

Novamente, o denominador vai ser sempre positivo, então vamos analisar o numerador:

48 x 2 - 64 > 0 → 48 x 2 > 64 → x 2 > 64 48 → x 2 > 4 3 → x > 4 3 e   x < - 4 3

Então, a concavidade é para cima em - ∞ ,   - 4 3 e ( 4 3 ,   ∞ ) para baixo em - 4 3 , 4 3

A função muda a concavidade em x = ± 4 3 .

Além disso, a função   y = 8 x 2 + 4 nunca vai ser negativa, então o gráfico sempre estará acima do eixo x.

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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