Esboce o gráfico da função y = y(x), x ∈ R Sabendo que

b) d^2y/dx^2 = -4 \* cos(2x), y(0) = 1 e y'(0) = 0

Passo 1

Sendo a segunda derivada:

d 2 y d x 2 = - 4 cos ⁡ 2 x

Ou seja, a primitiva de d 2 y d x 2

d y d x = ∫ - 4 cos ⁡ 2 x d t

Usando a substituição u = 2 x → d u = 2 x d x , teremos:

- 4 × 1 2 ∫ cos ⁡ u d u = - 2 sin ⁡ u + k

Voltando pra variável x :

- 2 s in ⁡ u + k = - 2 s in ⁡ 2 x + k

Passo 2

Agora precisamos de k

d y d x = - 2 s in ⁡ 2 x + k

Pra isso vamos usar x = 0

d y d x 0 = - 2 sin ⁡ 2 0 + k = 0 + k = k

O exercício nos deu que d y d x 0 = 0 , então igualamos:

v 0 = 0 = k → k = 0

Assim:

d y d x = - 2 s in ⁡ 2 x

Passo 3

Se d y d x = - 2 sin ⁡ 2 x

Então:

y x = ∫ - 2 sin ⁡ 2 x d x

Vamos usar, novamente, a substituição u = 2 x → d u = 2 d x

∫ - 2 sin ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ - 2 s in ⁡ u d u = cos ⁡ u + c

Voltando pra variável x :

cos ⁡ 2 x + c = cos ⁡ 2 x + c

Assim:

y x = cos ⁡ 2 x + c

y 0 = cos ⁡ 2 0 + c = c

E y 0 = 0

Assim, se igualarmos os valores de y 0 , teremos:

0 = c

Logo:

y x = cos ⁡ 2 x

Assim, vamos ter uma função cos ⁡ x porém 2 vezes menos espaçado, assim:

Repare nesse desenho comparando as funções y = cos ⁡ x e   y = cos ⁡ 2 x

Repare que tem uma que demora bem mais pra passar no eixo x

Resposta

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