Enunciado

a) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máximo local em 2 e seja derivável em 2 .

b) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máximo local em 2 e seja contínua, mas não derivável em 2 .

c) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máximo local em 2 e não seja contínua em 2 .

Passo 1

Esta é uma questão muito interessante para verificar se o aluno consegue perceber a diferença entre continuidade e diferenciabilidade graficamente e, além disso, como estas coisas se relacionam com pontos de extremos.

No item (a), devemos esboçar o gráfico de uma função que tenha um máximo local e seja derivável em x = 2 . Como a função deve ser derivável, ela também deve ser contínua nessa ponto. Basta traçar uma curva suave que possa ter reta tangente em x = 2 e, além disso, que seja máximo local nessa ponto. A forma mais fácil de se fazer isso é traçando uma curva com concavidade para baixo e que tenha tangente horizontal em x = 2 :

Passo 2

Agora queremos uma função que seja contínua, mas não derivável em x = 2 . Para isso, basta introduzir um bico neste ponto:

Passo 3

Por fim, queremos um gráfico de uma função que não seja contínua em x = 2 mas tenha máximo local nesse ponto. A forma mais fácil de se fazer isso é introduzir uma descontinuidade removível nesse ponto:

Prontinho!

Resposta

Esboço de gráfico.

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a. Identifique os extremos locais de cada função nos intervalos dados e informe onde eles ocorrem. b. Na mesma tela, esboce os gráficos da função e de sua derivada. Comente o comportamento de f em rel
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a. Prove que f x =x - ln ⁡ x é crescente para x1. b. Usando o item (a), mostre que ln ⁡ x xs ex1 .