Enunciado

Suponha que f seja uma função contínua definida no intervalo fechado [ a , b ] .

a) Que teorema garante a existência de máximo e mínimo absolutos para f ?

b) Quais etapas você deve seguir para encontrar esses valores máximo e mínimo?

Passo 1

Opa! Bora pra nossa questãozinha!

Temos uma função qualquer f e sabemos que ela é uma função contínua definida no intervalo fechado [ a , b ] . Dado isso:

No item (a), devemos dar o nome do teorema que garante que o método funciona e, no item (b), devemos dar o passo a passo explicando como usar o método.

Passo 2

O Teorema do Valor Extremo (ou Teorema de Weisstrauss) diz que uma função contínua em um intervalo fechado tem um valor máximo e um mínimo, mas, não diz como encontrar esses valores extremos.

Isso responde a nossa letra (a)!

Passo 3

Para aplicar o método do intervalo fechado, deve-se:

  • Identificar os pontos críticos de f no intervalo fechado [ a , b ] . Assim, os candidatos a extremos absolutos serão os pontos críticos e os extremos do intervalo ( a e b );
  • Calcula-se a função em todos os “candidatos” ;
  • Selecionamos o máximo e mínimo globais de f no intervalo.

Resposta

a) Teorema do Valor Extremo.

b) Desenvolvimento acima.

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Quais são os valores máximo e mínimo da função y = | x | no intervalo - 1 ≤ x1 ? Observe que o intervalo não é fechado.Isso é consistente com o teorema do valor extremo para funções contínuas? Por quê
Nos Exercícios 7 e 8, determine os valores máximo e mínimo absolutos de f sobre o intervalo.
(Continuação do Exercício 13.)b. Mostre que f tem um valor máximo local em x = 5 7 ≈ 1,2585 e um valor mínimo local em x = 2 3 ≈ 1,2599 .
Um gráfico que seja grande o suficiente para mostrar o comportamento global de uma função pode deixar de revelar aspectos locais importantes. O gráfico de f ( x ) = ( x 8 / 8 ) - ( x 6 / 2 ) - x 5 + 5
Um gráfico que seja grande o suficiente para mostrar o comportamento global de uma função pode deixar de revelar aspectos locais importantes. O gráfico de f ( x ) = ( x 8 / 8 ) - ( x 6 / 2 ) - x 5 + 5