Enunciado

Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais lim x → a ⁡ f ( x ) existe:

f x = { 2 - x ,   s e   x < - 1 x ,   s e - 1 ≤ x ≤ 1 x - 1 2 ,   s e   x > 1  

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x = 2 - x ,   s e   x < - 1 x ,   s e - 1 ≤ x ≤ 1 x - 1 2 ,   s e   x > 1  

Primeiramente queremos esboçar o gráfico dessa função.

Para isso, a gente observa que a função possui 3 expressões para cada intervalo.

Assim, vamos plotar cada expressão como se fosse uma função (dentro no seu intervalo) e depois colocaremos tudo em uma só plotagem!

Com isso, poderemos determinar os valores de a para os quais lim x → a ⁡ f ( x ) existe.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para a primeira expressão y = 2 - x , sabemos que trata-se de uma equaç��o linear que representa uma linha descendente no plano cartesiano, onde o valor de y é igual a 2 menos o valor de x .

Aplicando no intervalo x < - 1 , temos:

Para a expressão y = x temos uma equação linear que representa uma linha diagonal ascendente no plano cartesiano, onde o valor de y é igual ao valor de x .

Aplicando o intervalo - 1 ≤ x ≤ 1 , temos:

Por fim, para x - 1 2 vemos que trata-se de uma parábola voltara para cima. E, aplicando o intervalo x > 1 , temos:

Passo 3

Juntando as plotagens, temos:

Passo 4

Pelo gráfico, o limite da função à esquerda de - 1 tende a 3 , enquanto pela direita ele tende a - 1 , veja:

Como os dois limites são diferentes então não existe limite quando x = - 1 .

Agora, o limite da função à esquerda de 1 tende a 1 , enquanto pela direita ele tende a 0 , veja:

Como os dois limites são diferentes então não existe limite quando x = 1 .

Para quaisquer outros valores, o limite dessa função existe.

Isso porque os limites laterais vão coincidir. Beleza?

Sendo assim, a equivale a todos os números reais diferentes de ± 1 , ou seja:

a ∈ R | a ≠ ± 1

Prontinho!

Resposta

a ∈ R | a ≠ ± 1

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Suponha f contínua em R e f x ≥ 0 para todo x racional. Prove que f x ≥ 0 para todo x .
Sejam f e g definidas em R com g x = 0 para todo x . Suponhas que lim x → p ⁡ f x g x = 0 . Prove que existe δ0 tal que 0x - pδ ⟹ f xg x
Prove: underset(x - p)(lim) f (x) = L = underset(x - p)(lim) [f (x) - L] = 0
Prove: underset(x - p)(lim) (f (x))/(x - p) = 0 = underset(x - p)(lim) (f (x))/(|x - p|) = 0 .
Suponha que lim x → p ⁡ f x = L . Prove que existem r0 e M0 tais que, para todo x ∈ D f , 0x - pr ⟹ f x ≤ M .