Prove: lim x → p ⁡ f x x - p = 0 ⇔ lim x → p ⁡ f x x - p = 0 .

Passo 1

Pela definição precisa de limite, temos que:

lim x → p ⁡ f x x - p = 0

se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que

se 0 < x - p < δ então f x x - p - 0 < ε

Vamos então supor que:

se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que

se 0 < x - p < δ então f x x - p - 0 < ε

Então vamos ter que só acontece se:

lim x → p ⁡ f x x - p = 0

No fim temos então que:

lim x → p ⁡ f x x - p = 0 ⇔ ∀ ε > 0 ,   ∃ δ > 0 0 < x - p < δ → f x x - p - 0 < ε ⇔ ∀ ε > 0 ,   ∃ δ > 0 0 < x - p < δ → f x x - p - 0 < ε ⇔ lim x → p ⁡ f x x - p = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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