Enunciado

Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê.

  1. lim x → 1 - ⁡ f x
  2. lim x → 1 + ⁡ f x
  3. lim x → 1 ⁡ f x
  4. lim x → 5 ⁡ f x
  5. f ( 5 )

Passo 1

Opa, bora lá! O enunciado nos dá o gráfico:

A partir dele a gente tem que dizer o valor de vários limites e se ele não existir, temos que dizer o motivo!

Para isso a gente tem que ter em mente que para o limite existir em um ponto a função tem que ser contínua nesse ponto!

Uma função contínua é aquela que a gente pode desenhar sem tirar o lápis do papel! Mas além disso aqui a gente vai pensar nos limites laterais, quando eles forem iguais pra um ponto o limite existe nesse ponto!

Podemos escrever assim:

lim x → a + ⁡ f x = lim x → a - ⁡ f x

Ou seja, se a gente se aproximar pela direita e pela esquerda, de um mesmo ponto, temos que chegar no mesmo valor! Agora bora lá!

Passo 2

Vamos trazer o gráfico pra pertinho da gente:

Vamos começar com:

lim x → 1 - ⁡ f x

Aqui é muito simples, olhamos pro gráfico e procuramos o f ( 1 ) saindo do eixo negativo e indo pro positivo. Aí achamos:

lim x → 1 - ⁡ f x = 2

A bolinha ali é preenchida, então a função esta definida nesse ponto!

Passo 3

Agora vamos olhar para:

lim x → 1 + ⁡ f x

Nos aproximamos de x = 1 pela direita:

Então temos que:

lim x → 1 + ⁡ f x = 3

Repara que f ( 1 ) não é 3 e sim 2 . Em y = 3   temos a bolinha aberta indicando que a função não esta definida pra esse ponto!

Passo 4

Agora chegou a vez do limite de verdade:

lim x → 1 ⁡ f x

Vimos nos passos anteriores que:

lim x → 1 - ⁡ f x = 2

lim x → 1 + ⁡ f x = 3

Como os limites laterais não existe, então lim x → 1 ⁡ f x não existe nesse ponto!

Passo 5

Agora vamos procurar no gráfico:

lim x → 5 ⁡ f x

Podemos ver que, pela esquerda:

lim x → 5 - ⁡ f x = 4

E pela direita:

lim x → 5 - ⁡ f x = 4

Em f 5 a bolinha esta aberta, o que significa que a função não esta definida nesse ponto! Porém quando x tende a 5 tanto pela esquerda quanto pela direita nos aproximamos de y = 4 .

Passo 6

Pra acabar devemos dizer o valor de f 5 !

Como terminamos de falar ali em cima, no lugar de f 5 temos uma bolinha aberta, portanto a função não esta definida!

Resposta

  1. lim x → 1 - ⁡ f x = 2
  2. lim x → 1 + ⁡ f x = 3
  3. lim x → 1 ⁡ f x não existe, pois os limites das letras (a) e (b) não são iguais
  4. lim x → 5 ⁡ f x = 4
  5. f 5 não está definido, logo, não existe
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