Enunciado

Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais lim x → a ⁡ f ( x ) existe:

f x = { 2 - x ,   s e   x < - 1 x ,   s e - 1 ≤ x ≤ 1 x - 1 2 ,   s e   x > 1  

Passo 1

Opa, bora lá! Precisamos determinar lim x → a ⁡ f ( x ) quando o limite existir, temos que:

f x = 2 - x ,       q u a n d o   x < - 1

f x = x ,     q u a n d o   - 1 ≤ x < 1

f x = x - 1 2 ,     q u a n d o   x ≥ 1

Vamos desenhar o gráfico, ele vai nos ajudar a determinar esses limites:

Passo 2

Pelo gráfico, o limite da função à esquerda de -1 tende a 3, enquanto pela direita ele tende a -1. Se os dois limites são diferentes então não existe limite quando x=-1.

Agora, o limite da função à esquerda de 1 tende a 1, enquanto pela direita ele tende a 0. Se os dois limites são diferentes então não existe limite quando x=1.

Para quaisquer outros valores, o limite dessa função existe. Isso porque os limites laterais vão coincidir. Beleza?

Sendo assim:

a ≠ ± 1

Prontinho!

Resposta

a ≠ ± 1

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Suponha f contínua em R e f x ≥ 0 para todo x racional. Prove que f x ≥ 0 para todo x .
Sejam f e g definidas em R com g x = 0 para todo x . Suponhas que lim x → p ⁡ f x g x = 0 . Prove que existe δ0 tal que 0x - pδ ⟹ f xg x
Prove: lim x → p ⁡ f x = L ⇔ lim x → p ⁡ f x - L = 0
Prove: lim x → p ⁡ f x x - p = 0 ⇔ lim x → p ⁡ f x x - p = 0 .
Suponha que lim x → p ⁡ f x = L . Prove que existem r0 e M0 tais que, para todo x ∈ D f , 0x - pr ⟹ f x ≤ M .