Enunciado

Esboce os gráficos de y = 1 - x 2 , y = cos ⁡ x e y = f x , onde f é uma função qualquer que satisfaz a desigualdade:

1 - x 2 ≤ f x ≤ cos ⁡ x

Para todo x no intervalo - π 2 , π 2 . O que você pode dizer sobre o limite de f x quando x → 0 ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Então galera, se esboçarmos os gráficos de y = 1 - x 2 , y = cos ⁡ x e y = f x , teremos o seguinte:

No qual a função em verde é y = 1 - x 2 e a função em azul é y = cos ⁡ x . Aqui vale ressaltar que a função y = f x é uma função que está entre essas duas funções, ou seja, no meio delas! Tudo bem, a primeira parte foi feita.

Passo 2

Para todo x no intervalo - π 2 , π 2 temos que o limite de f x para x se aproximando de zero será:

lim x → 0 ⁡ f x = 1

Oxe, mas por que esse é o resultado? Utilizando a noção do Teorema do Confronto, temos que as duas funções que estão “esmagando” a nossa f x estão se aproximando desse mesmo valor, então a consequência é que f x também se aproxima de 1 para o intervalo dado! E essa é a nossa resposta, galera!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f contínua em a ,b e tal que fa fb . Suponha que quaisquer que sejam s e t em a ,b , s ≠t⇒fs ≠ ft . Prove que f é estritamente crescente em a ,b .(Observação: f estritamente crescente em a ,b⇔∀
Suponha que f : 0,1 → R seja contínua, f 0 = 1 e que f x é racional para todo x em 0,1 . Prove que f x = 1 para todo x em 0,1 .
Seja f : 0,1 → R contínua e tal que para todo x em 0,1 , 0 ≤ f x ≤ 1 . Prove que existe c em 0,1 tal que f c = c .