Enunciado

8. Esboce o mapa de contorno e o gráfico das seguintes funções:

b) f x , y = y - 1 - x 2

Passo 1

Antes de começar, vamos lembrar o que é mapa de contorno/curva de nível. A curva de nivel é a curva descrita quando igualamos a função a uma constante, isto é:

f x , y = c = y - 1 - x 2

Agora vamos ver como essas curvas se comportam no plano cartesiano: c = y - 1 - x 2 ↔ c 2 = y - 1 - x 2 ↔ c 2 - y + 1 = - x 2 ↔ y = x 2 + ( c 2 + 1 )

Lembrando que o domínio dessa função nos permite elevar ambos os lados ao quadrado,sem perdermos alguma curva, para remover a raiz, pois y - 1 - x 2 ≥ 0 ↔ c ≥ 0 .

Esse gráfico é uma parábola no eixo y que está transladada c 2 + 1 unidades e sabendo disso, temos que para cada c , sua curva de nível é (a parábola terá vértices em ( c 2 + 1 )   e nesse caso usamos c = √ 3 ) :

Como as curvas de nível nos ajudam a saber como será o gráfico da função, vamos esboçá-las para alguns valores de c ( 0 ,   1 ,   2 , 3 , 2 ) :

Desenhando cada parábola em z = c para todo c possivel, obtemos o grafico da função, que é:

É possível ver que a interseção com o plano z = 0 resulta em uma parábola, como esperado.

Resposta

Mapa de contorno:

Gráfico:

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Considere a superfície S , união de S 1 e S 2 , onde S 1 tem equação x 2 + y 2 = 4 com 0 ≤ z ≤ 2 , e S 2 é o gráfico da função z = x 2 + y 2 definida no conjunto D , onde D = x ,y ∈ R 2|4 ≤ x 2 + y 2
Seja S a superficie definida por z = 2 + x 2 + y 2 .Faça o esboço de S .
Seja S a superficie definida por z = 2 + x 2 + y 2 .Identifique a interseção de S com o plano z = k , quando k2 , k = 2 e k2 .
Seja S a superficie definida por z = 2 + x 2 + y 2 .Identifique as interseções de S com os planos x z e y z .
Dada a função f x , y = 1 x 2 + y 2 , pede-se:A equação e o esboço da curva de nivel que contém o ponto ( 0,2 ) .