Enunciado

Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a

∫ π / 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ

Passo 1

A parte de calcular é a mais fácil desta questão. Basta vocês integrarem a função e aplicarem o teorema fundamental do cálculo da mesma forma que vêm trabalhando até agora! Agora, o esboço da região é mais complicado.

Para esta questão estaremos utilizando softwares para nos ajudar a esboça-la. Caso possua dificuldades na interpretação das funções em coordenadas polares, pode modificar as funções para coordenadas cartesianas, para conseguir analisa-las!

Para esta nossa questão, o valor do raio varia de 0 até 2 sin ⁡ θ . A curva r = 2 sen ⁡ θ corresponde a uma circunferência centrada no eixo y . Para facilitar a identificação, a função pode ser transformada novamente para coordenadas cartesianas, para isto, basta fazer:

r = 2 sin ⁡ θ

x 2 + y 2 = 2 y x 2 + y 2  

x 2 + y 2 = 2 y

x 2 + y 2 - 2 y = 0

x 2 + y - 1 2 = 1

Sempre podemos fazer o caminho inverso! Como teta varia de π / 2 até π , o que corresponde a todo o segundo quadrante, temos a seguinte figura:

Passo 2

Agora, vamos resolver a nossa integral. Portanto,

∫ π / 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ = ∫ π / 2 π   r 2 2 0 2 sen ⁡ θ d θ

∫ π / 2 π   2 sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ π / 2 π   2 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

∫ π / 2 π   ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) d θ = θ - sen ⁡ 2 θ 2 π / 2   π = π 2

Resposta

∫ π / 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ = π 2

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