Enunciado

int_(pi)^(3 pi // 4) int_1^2 r d r d theta

Passo 1

Falaaaaai, vamos lá resolver essa questão?! Simbora!

Então cara, a parte chatinha da questão é o esboço do gráfico, a integral a gente resolver normalmente. Dá só uma olhada no esboço do gráfico:

Agora, analisa comigo os intervalos de integração. O raio está variando de 1 a 2, ou seja, ele forma uma espécie de anel. Mas a gente não quer todo esse anel, queremos apenas a parte preenchida ali, isso se dá pela variação de theta , que varia de pi a 3 pi // 4 . Perceba que essa variação de theta acontece no sentido horário, ou seja, theta descresce.

Passo 2

Beleza, fizemos o bendito esboço. Agora vamo lá resolver a integral!

Vamos resolver como estamos acostumados até agora, dá uma olhada 😊.

int_(pi)^(3 pi // 4) int_1^2 r d r d theta = int_(pi)^(3 pi // 4) |(r^2)/(2)|_1^2 d theta = int_(pi)^(3 pi // 4) (3)/(2) d theta = (3)/(2) [theta]_(pi)^(3 pi // 4) = - (3 pi)/(8)

Beleza, mas cara, estamos calculando a área da nossa região, tem área negativa?! Não tem como né, então vamos pegar a parte positiva desse resultado, ou seja:

(3 pi)/(8)

Resposta

(3 pi)/(8)

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Nos Exercícios 1-8, descreva a região dada em coordenadas polares.
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Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar. ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + 1 d xd y
Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar. ∫ 2 2 ∫ 4 - y 2 y d yd x
Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar. ∫ 0 l n 2 ∫ 0 ln ⁡ 2 2 - y 2 e x 2 + y 2 d xd y