Enunciado

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ R y 2 x 2 + y 2 d A

Onde R é a região que fica entre os círculos x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + y 2 = b 2 com 0 < a < b .

Passo 1

Inicialmente precisamos mudar a função de integração de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, sem esquecer do jacobiano! Portanto, temos:

∬ R y 2 x 2 + y 2 d A

Substituindo os valores que temos como aprendemos na matéria,

y 2 = r 2 sen 2 ⁡ θ   e   x 2 + y 2 = r 2

Logo, realizando também as substituições de r d A = d r d θ :

∬ R y 2 x 2 + y 2 d A = ∬ R r 2 sen 2 ⁡ θ r 2 r d A = ∬ R r sen 2 ⁡ θ d r d θ

Agora, precisamos escrever a nossa região em coordenadas polares. O valor do raio r varia de a até b (região entre os círculos), e o valor de θ varia de 0 até 2 π , pois a nossa região R descreve todo o anel circular de raio externo b e raio interno a .

Passo 2

Agora que descrevemos a região em coordenadas polares, podemos colocar os limites de integração na nossa integral. Portanto,

∫ 0 2 π ∫ a b r sen 2 ⁡ θ d r d θ

∫ 0 2 π b 2 - a 2 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 2 π b 2 - a 2 2 ⋅ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

b 2 - a 2 2 ⋅ θ - sen ⁡ 2 θ 2 2 0 2 π = b 2 - a 2 2 ⋅ π

Resposta

∬ R y 2 x 2 + y 2 d A = b 2 - a 2 2 ⋅ π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de e - r metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.(a) Se 0R ≤ 100
Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na extremidade nor
Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R 4 - x 2 - y 2d A , onde R = x , yx 2 + y 2 ≤ 4 ,x ≥ 0 } .