Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 10
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
Onde R é a região que fica entre os círculos e com .
Passo 1
Inicialmente precisamos mudar a função de integração de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, sem esquecer do jacobiano! Portanto, temos:
Substituindo os valores que temos como aprendemos na matéria,
Logo, realizando também as substituições de
Agora, precisamos escrever a nossa região em coordenadas polares. O valor do raio varia de até (região entre os círculos), e o valor de varia de até , pois a nossa região R descreve todo o anel circular de raio externo e raio interno .
Passo 2
Agora que descrevemos a região em coordenadas polares, podemos colocar os limites de integração na nossa integral. Portanto,
Resposta
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Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
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Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R 4 - x 2 - y 2d A , onde R = x , yx 2 + y 2 ≤ 4 ,x ≥ 0 } .