Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = cos ⁡ x ,         y = sen ⁡ 2 x ,               x = 0 ,           x = π 2

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema temos que calcular a area entre as curvas

y = cos ⁡ x y = sen ⁡ 2 x x = 0 x = π 2

A área da região limitada pelas curvas é da seguinte forma:

A = ∫ a b f x - g x d x

Veja só!

Passo 2

Vamos achar os pontos de integração das curvas, é só igualar as duas:

cos ⁡ x = sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

2 sen ⁡ x cos ⁡ x - cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x 2 sen ⁡ x - 1 = 0

2 sen ⁡ x = 1  

E também

cos ⁡ x = 0

x = π 6

x = π 2

Aqui temos o esboço da região, fazemos atribuindo pontos nas curvas:

Fica mais fácil calcular a integral em relação a x , vamos dividir em duas, a primeira com f x = cos ⁡ x , que é a curva mais a cima, e g x = sen ⁡ 2 x , que é a curva mais a baixo, e os limites de integração são x = 0 e x = π 6 , os pontos de intersecção das curvas, a segunda com f x = sen ⁡ 2 x , que é a curva mais a cima, e g x = cos ⁡ x , que é a curva mais a baixo, e os limites de integração são x = π 6 e x = π 2 , os pontos de intersecção das curvas.

Vamos agora achar a área:

A = ∫ 0 π 6 cos ⁡ x - sen ⁡ 2 x d x + ∫ π 6 π 2 sen ⁡ 2 x - cos ⁡ x d x

A = ∫ 0 π 6 cos ⁡ x d x + ∫ 0 π 6 - sen ⁡ 2 x d x + ∫ π 6 π 2 sen ⁡ 2 x d x + ∫ π 6 π 2 - cos ⁡ x d x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

A = ∫ cos ⁡ x d x + ∫ - sen ⁡ 2 x d x + ∫ sen ⁡ 2 x d x + ∫ - cos ⁡ x d x

A = ∫ cos ⁡ x d x - ∫ sen ⁡ 2 x d x + ∫ sen ⁡ 2 x d x - ∫ cos ⁡ x d x

A = sen ⁡ x + cos ⁡ 2 x 2 - cos ⁡ 2 x 2 - sen ⁡ x + C

Show?

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

A = ∫ 0 π 6 cos ⁡ x d x + ∫ 0 π 6 - sen ⁡ 2 x d x + ∫ π 6 π 2 sen ⁡ 2 x d x + ∫ π 6 π 2 - cos ⁡ x d x

Calculando as integrais e aplicando os limites de integração...

A = sen ⁡ x + cos ⁡ 2 x 2 0 π 6 + - cos ⁡ 2 x 2 - sen ⁡ x π 6 π 2

A = sen ⁡ π 6 + cos ⁡ 2 π 6 2 - sen ⁡ 0 + cos ⁡ 2.0 2 - cos ⁡ 2 π 2 2 - sen ⁡ π 2 - - cos ⁡ 2 π 6 2 - sen ⁡ π 6

Simplificando...

A = 1 2 + 1 2 . 1 2 - 0 + 1 2 . 1 + 1 2 - 1 - - 1 2 . 1 2 - 1 2

A = 1 2

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

A = 1 2

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Encontre a área sob a curva f x = y acima do intervalo dado. f x = 1 x, [ 1 ,e 3 ]
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Encontre a área sob a curva f x = y acima do intervalo dado. f x = e x, [ 1 ,3 ]
Encontre a área que está acima do e i x ox mas abaixo da curva y = ( 1 - x ) ( x - 2 ) . Faça um esboço dessa região.
Esboce a curva e encontre a área total entre ela e o intervalo dado no e i x ox . y = x + 1 - 1,[ - 1 ,1 ]