Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = 1 4 x 2 , y = 2 x 2 , x + y = 3 ,   x ≥ 0

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as curvas:

y = 1 4 x 2 , y = 2 x 2 , x + y = 3 ,   x ≥ 0

Para isso, devemos os pontos de interseções entre os gráficos para que assim a gente tenha os limites de integração para calcular a nossa área!!

Temos duas equações de grau 2 positivas centradas em zero e uma reta que tem coeficiente angular negativo.

Assim, plotando, temos:

Passo 2

Agora, fazendo a interseção entre as funções, temos:

1 4 x 2 = 2 x 2

Isolamos o x :

1 4 x 2 = - x + 3 ∴

x 2 + 4 x - 12 = 0

A gente bate o olho nessa equação e pensa “Hmm, fórmula de bhaskara”, mas o objetivo aqui é facilitar né não? Vamos reescrever a equação:

( x - 2 ) ( x + 6 ) = 0

Logo, x = - 6   o u   x = 2 . Fazemos o mesmo para a outra função:

2 x 2 = - x + 3

2 x 2 + x - 3 = 0

Organizando, temos:

2 x + 3 x - 1 = 0

Logo, x = - 3 2   o u   x = 1 .

Esse será o nosso intervalo de integração. Agora podemos calcular a área!!

Lembrando que a área que estamos calculando é a seguinte:

Passo 3

Organizando a integral, temos:

A = ∫ 0 1 [ 2 x 2 - 1 4 x 2 ] d x + ∫ 1 2 [ ( - x + 3 ) - 1 4 x 2 ] d x ∴

A = ∫ 0 1 [ 7 4 x 2 ] d x + ∫ 1 2 [ - 1 4 x 2 - x + 3 ] d x

Resolvendo:

A = 7 12 x 3 0 1 + - 1 12 x 3 - 1 2 x 2 + 3 x 1 2

A = 7 12 1 3 - - 1 12 2 3 - 1 2 2 2 + 3 2 - ( - 1 12 1 3 - 1 2 1 2 + 3 ( 1 )

Então, isso resultará em:

A = 7 12 - - 8 12 - 4 2 + 6 - ( - 1 12 - 1 2 + 3

A = 7 12 - - 2 3 - 2 + 6 - - 1 12 - 1 2 + 3

A = 3 2

Prontinho!! 😉

Resposta

A = 3 2

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