Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Observe que a região é limitada a esquerda por uma curva g ( y ) e a direita por outra curva f ( y ) , além disto, é limitada inferiormente por y = a e superiormente por y = b . Desta forma, podemos expressar a área desta região a partir da seguinte integral:

A = ∫ a b f y - g y   d y

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. As funções f e g são f y = y 2 e g y = y 3 . Já o intervalo é 0,1 , isto é, é limitada inferiormente por y = 0 e superiormente por y = 1 . Desta forma, a área da região em cinza pode ser expressa pela seguinte integral:

A = ∫ 0 1 y 2 - y 3   d y

Passo 3

Vamos resolver agora a nossa integral.

A = ∫ 0 1 y 2 - y 3   d y = y 3 3 - y 4 4 0 1

A = 1 3 - 1 4 - 0 - 0

A = 1 12

Resposta

A = 1 12

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