Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = cos ⁡ x , y = 2 - cos ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos esboçar a região delimitada pelas seguintes curvas:

y = cos ⁡ x

E

y = 2 - cos ⁡ x

No intervalo 0 ≤ x ≤ 2 π .

E, posteriormente, devemos calcular a área entre as duas curvas.

Para isso, temos que saber do seguinte teorema:

A área A da região limitada pelas curvas y = f x ,   y = g x e pelas retas x = a e x = b , onde f e g são contínuas e f x ≥ g x para todo x em a , b , é:

A = ∫ a b f x - g x d x

Agora vamos lá aplicar!! 😉

Passo 2

A gente sabe que a função cosseno é esboçada da seguinte forma:

Dessa forma, a função y = 2 - cos ⁡ x é a mesma coisa da figura acima, com a exceção de que estamos “subindo” o gráfico em 2 unidade e invertendo ele (pois tem um sinal negativo no cosseno), veja:

Assim, aplicando a região delimitada por 0 ≤ x ≤ 2 π , obtemos:

Passo 3

Nesse sentido, para calcularmos a área A delimitada pelas duas curvas, aplicamos o conceito mostrado no Passo 1 e utilizamos o intervalo dado como limites de integração:

A = ∫ 0 2 π ( 2 - cos ⁡ x ) - cos ⁡ x d x ∴

A = ∫ 0 2 π 2 - 2 cos ⁡ x d x ∴

A = ∫ 0 2 π ( 2 ) d x - ∫ 0 2 π ( 2 cos ⁡ x ) d x

Resolvendo essas integrais:

A = 2 x - 2 sin ⁡ x 0 2 π ∴

A = 4 π - 0 - [ 0 ]

Então,

A = 4 π

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

A = 4 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o centro de massa da lâmina limitada pela parábola 2 y 2 = 18 - 3 x , pelo eixo y , se a densidade superficial de massa em qualquer ponto ( x , y ) for xk g / m ² ².
Ache a taxa de variação da medida da área no Exercício 49 em relação a p e quando p=3.
Determine m de tal forma que a região acima de reta y = m x e abaixo da parábola y = 2 x - x 2 tenha uma área de 36 unidade quadradas.
Ache a área da região limitada pelas parábolas y 2 = 4 p x e x 2 = 4 p y .
Ache a área da região acima da parábola x 2 = 4 p y e dentro do triângulo formado pelo eixo x e pelas retas y = x + 8 p e y = - x + 8 p .