Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = x 2 , y = 4 x - x 2

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as curvas:

y = x 2 , y = 4 x - x 2

Temos em mãos duas parábolas e queremos esboçar a região delimitada por essas curvas, depois vamos calcular a área dessa região!

Temos que:

y = 4 x - x 2 → c o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o

y = x 2 → c o n c a v i d a d e   p r a   c i m a

Pra achar os pontos de intersecção fazemos:

4 x - x 2 = x 2

2 x 2 - 4 x = 0

Dividindo por dois:

x 2 - 2 x = 0

x x - 2 = 0

x = 0 ,   x = 2

Além disso precisamos calcular as raízes de cada curva:

4 x - x 2 = 0

x 4 - x = 0

x = 0 ,   x = 4

Agora a outra:

x 2 = 0

x = 0

Agora sim, conseguimos esboçar:

Onde a curva azul é y = 4 x - x 2 e a curva vermelha é y = x 2 .

Passo 2

Agora vamos montar a integral! A área que vamos calcular vai ser dada pela subtração entre a curva azul e vermelha, os limites de integração serão os pontos de intersecção que calculamos acima. Temos então:

A = ∫ 0 2 4 x - x 2 - x 2 d x

A = ∫ 0 2 2 ( 2 x - x 2 ) d x

Resolvendo essa integral:

A = 2 2 x 2 2 - x 3 3 0 2

A = 2 [ 2 2 2 2 - 2 3 3 ]

Então,

A = 2 4 - 8 3

A = 8 3

Prontinho!

Resposta

A = 8 3

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Ache a taxa de variação da medida da área do Exercício 48 em relação a p quando p = 3 8 .
Ache a área da seção limitada pela curva y = tan 2 ⁡ x , pelo eixo x e pela reta x = 1 4 π .
Ache a área da região limitada pelas três curvas y = x 2 ,y = 8 - x 2e4 x - y + 12 = 0 .
Ache a área da região limitada pela reta x = 4 e pela curva x 3 - x 2 + 2 x y - y 2 = 0 . (Sugestão: resolva a equação cúbica em y em termos de x e expresse y como duas funções de x.)
Ache a área da seção limitada pelas curvas y = sin ⁡ x e y = cos ⁡ x entre dois pontos de interseção consecutivos.