Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = cos ⁡ π x , y = 4 x 2 - 1

Passo 1

De inicio, vamos representar o gráfico. Temos a função cosseno, que já é bem conhecida, porém acompanhado do π . Enquanto a outra função, y = 4 x 2 - 1 será uma parábola para cima. Precisamos lembrar que o cosseno é positivo em π e2   π .

Então, o nosso gráfico fica assim:

Para a interseção, podemos utilizar apenas a segunda equação:

4 x 2 - 1 = 0

x 2 = 1 4

x = ± 1 2

Esse será o nosso intervalo de integração. Agora podemos calcular a área!!

Passo 2

A = ∫ - 1 2 1 2 [ ( cos ⁡ π x ) - ( 4 x 2 - 1 ) d x

Essa integral pode ser dividida em duas partes pois os intervalos de integração são iguais, logo

A = 2 ∫ 0 1 2 cos ⁡ π x - 4 x 2 + 1 d x

A = 2 1 π s e n   π x - 4 x 3 3 + x 0 1 2

A = 2 1 π s e n   π 1 2 - 4 1 2 3 3 + 1 2 - 1 π s e n   π 0 - 4 0 3 3 + 0

A = 2 1 π ( 1 ) - 1 6 + 1 2 - 0

Então,

A = 2 1 π + 1 3

A = 2 π + 2 3

Resposta

A = 2 π + 2 3

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