Enunciado

Represente graficamente a região entre as curvas e use a calculadora para encontrar a área correta até a quinta casa decimal.

y = tan 2 ⁡ x ,   y = x

Passo 1

Vamos ver como o gráfico irá se comportar. Bom, começando pela raiz, como nesse caso não temos um numero adicionado ao x, a curva começará no 0 e seguirá a cima do eixo x.

Para a tangente, temos uma função periódica e também assintótica. Dessa forma, o nosso gráfico será:

Vamos calcular a área de interseção agora, sendo o intervalo de 0 a (aproximadamente) 0,75.

Passo 2

Integrando,

∫ 0 a tan 2 ⁡ x - x d x

Usando a identidade: tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1 .

∫ 0 a sec 2 ⁡ x - 1 d x - ∫ 0 a x d x

∫ 0 a sec 2 ⁡ x d x - ∫ 0 a 1 d x - ∫ 0 a x d x

Temos que,

tan ⁡ x 0 a - x 0 a - ∫ 0 a x 1 2 d x

tan ⁡ x 0 a - x 0 a - 2 x x 3 0 a

( tan ⁡ a - tan ⁡ 0 ) - ( a - 0 ) - ( 2 a a 3 )

tan ⁡ a - a - 2 a a 3

Como a ≈ 0,75 , então,

A = tan ⁡ 0,75 - 0,75 - 2 × 0,75 0,75 3

A = 0,932 - 0,75 - 3 4

A = 0,932 - 0,75 - 3 4

A = 0,248

Resposta

A = 0,24 8

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