Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = cos ⁡ x , y = sin ⁡ 2 x , x = 0 ,   x = π 2

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as curvas:

y = cos ⁡ x , y = sin ⁡ 2 x

Temos em mãos duas funções trigonométricas no intervalo de:

x = 0 ,   x = π 2

A primeira coisa que temos que fazer é esboçar o gráfico! As nossas funções são funções trigonométricas bem conhecidas, então não tem mistério!

Para o nosso intervalo temos:

Onde y = cos ⁡ x é a curva vermelha e y = sin ⁡ 2 x   é a curva azul!

Passo 2

Fazendo a interseção das equações temos:

cos ⁡ x = sin ⁡ 2 x

cos ⁡ x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x

2 sin ⁡ x cos ⁡ x - cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x ( 2 sin ⁡ x - 1 ) = 0

2 sin ⁡ x = 1   o u cos ⁡ x = 0

x = π 6 o u   x = π 2

Esse será o nosso intervalo de integração. Que é essa areazinha verde:

Agora podemos calcular a área!!

Passo 3

Temos a seguinte integral:

A = ∫ π 6 π 2 ( sin ⁡ 2 x   - cos ⁡ x ) d x

Resolvendo essa integral:

A = - 1 2 cos ⁡ 2 x - sin ⁡ x π 6 π 2

A = 1 2 - 1 - 1 - - 1 2 1 2 - 1 2

Prontinho!

A = 1 4

Resposta

A = 1 4

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