Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = cos x, y = sen 2x, x = 0, x = pi / 2

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as curvas:

y = cos ⁡ x , y = sin ⁡ 2 x

Temos em mãos duas funções trigonométricas no intervalo de:

x = 0 ,   x = π 2

A primeira coisa que temos que fazer é esboçar o gráfico! As nossas funções são funções trigonométricas bem conhecidas, então não tem mistério!

Para o nosso intervalo temos:

Onde y = cos ⁡ x é a curva vermelha e y = sin ⁡ 2 x   é a curva azul!

Passo 2

Fazendo a interseção das equações temos:

cos ⁡ x = sin ⁡ 2 x

Se sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x , temos:

cos ⁡ x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x

Simplificando...

2 sin ⁡ x cos ⁡ x - cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x ( 2 sin ⁡ x - 1 ) = 0

A partir dessa equação tiramos que:

2 sin ⁡ x = 1   o u cos ⁡ x = 0

x = π 6 o u   x = π 2

Esse será o nosso intervalo de integração. Que é essa areazinha verde:

Com isso temos duas regiões: a primeira de x = 0 até π / 6 e a segunda de π / 6 até π / 2 .

Agora podemos calcular a área!!

Passo 3

Temos a seguinte integral:

A = ∫ 0 π 6 ( cos ⁡ x - sin ⁡ 2 x ) d x + ∫ π 6 π 2 ( sin ⁡ 2 x - cos ⁡ x ) d x

Resolvendo a primeira integral:

∫ 0 π 6 ( cos ⁡ x - sin ⁡ 2 x ) d x = sin ⁡ x + 1 2 cos ⁡ 2 x 0 π 6

∫ 0 π 6 ( cos ⁡ x - sin ⁡ 2 x ) d x = sin ⁡ π 6 + 1 2 cos ⁡ 2 π 6 - sin ⁡ 0 + 1 2 cos ⁡ 2 0

∫ 0 π 6 ( cos ⁡ x - sin ⁡ 2 x ) d x = 1 2 + 1 2 1 2 - 0 + 1 2

∫ 0 π 6 ( cos ⁡ x - sin ⁡ 2 x ) d x = 1 4

Resolvendo a segunda integral:

∫ π 6 π 2 ( sin ⁡ 2 x - cos ⁡ x ) d x = - 1 2 cos ⁡ 2 x - sin ⁡ x π 6 π 2

∫ π 6 π 2 ( sin ⁡ 2 x - cos ⁡ x ) d x = - 1 2 cos ⁡ 2 π 2 - sin ⁡ π 2 - - 1 2 cos ⁡ 2 π 6 - sin ⁡ π 6

∫ π 6 π 2 ( sin ⁡ 2 x - cos ⁡ x ) d x = - 1 2 - 1 - 1 - - 1 2 1 2 - 1 2

∫ π 6 π 2 ( sin ⁡ 2 x - cos ⁡ x ) d x = 1 4

Prontinho! Agora é só juntar as duas respostas:

A = ∫ 0 π 6 ( cos ⁡ x - sin ⁡ 2 x ) d x + ∫ π 6 π 2 ( sin ⁡ 2 x - cos ⁡ x ) d x

A = 1 4 + 1 4

A = 1 2

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

A = 1 2

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