Enunciado

Avalie a integral definida.

int_0^1 (d x)/((1 + sqrt(x))^4)

Passo 1

Vamos aplicar o método da substituição para solucionarmos o problema,

u = 1 + sqrt(x)

d u = (1)/(2 sqrt(x)) d x

2 sqrt(x) d u = d x

Mas podemos fazer,

sqrt(x) = u - 1

Substituindo,

2 ( u - 1 ) d u = d x

Quando aplicamos esse método, precisamos nos preocupar com os intervalos também, então,

x = 0 u = 1

x = 1 u = 2

A integral fica:

int_1^2 (1)/((u)^4) [ 2 (u - 1) d u ]

2 int_1^2 (1)/(u^3) - (1)/(u^4) d u

= 2 [- (1)/(2 u^2) + (1)/(3 u^3)]_1^2

Logo,

= 2 [- (1)/(2 (2)^2) + (1)/(3 (2)^3)] - [- (1)/(2 (1)^2) + (1)/(3 (1)^3)]

= 2 [- (1)/(8) + (1)/(16)] - [- (1)/(2) + (1)/(3)]

= 2 [(1)/(12)]

= (1)/(6)

Assim, temos

int_0^1 (d x)/((1 + sqrt(x))^4) = (1)/(6)

Resposta

int_0^1 (d x)/((1 + sqrt(x))^4) = (1)/(6)

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