Calcule a integral iterada.

∫ 1 2 ∫ 0 2 y + 2 x e y   d x   d y

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Pois bem, pra resolver essas integrais duplas devemos nos atentar para a ordem de integração. Para esse caso como temos ' d x   d y ' vamos integrar primeiro em x e depois em y , além disso, quando integrarmos em uma variável vamos considerar a outra como constante. Como assim?

Se liguem, se estivermos integrando em d x ( n a   v a r i á v e l   x ) vamos considerar y como uma constante e poderemos calcular de igual maneira como fazíamos com uma integral simples.

Passo 2

Sendo assim, teremos

∫ 1 2 ∫ 0 2 y + 2 x e y   d x   d y

Calculando a integral ‘de dentro’ teremos

∫ 0 2 y + 2 x e y   d x = x y + 2 x 2 e y 2 0 2 = 2 y + 4 e y

Continuando nossa integração teremos

∫ 1 2 2 y + 4 e y   d y = 2 y 2 2 + 4 e y 1 2 = 2 2 + 4 e 2 - 1 - 4 e 1 = 3 + 4 e 2 - 4 e

Prontinho, tá resolvido nosso problema. Tranquilo, né?

Resposta

3 + 4 e 2 - 4 e

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