Enunciado

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.

∫ 0 1 ∫ a r c t g   x π / 4 f x , y   d y   d x

Passo 1

A região de integração está entre a curva y = a r c t g   x e a reta y = π / 4 com 0 ≤ x ≤ 1 :

Devemos mudar a ordem de integração e reescrever a integral.

Passo 2

Como temos y = a r c t g   x , podemos escrever x = t g   y . Assim, mudando a ordem de integração, x vai de x = 0 (eixo y ) até x = t g   y , enquanto y varia de 0 a π / 4 :

∫ 0 1 ∫ a r c t g   x π / 4 f x , y   d y   d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 t g   y f x , y   d x   d y

Resposta

∫ 0 π / 4 ∫ 0 t g   y f x , y   d x   d y

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Inverta a ordem de integração.
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