Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 1 a e , para cada valor de x fixo em [ 1 ,   e ] , y varia de ln ⁡ x a x . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   1 ≤ x ≤ e , ln ⁡ x ≤ y ≤ x

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Que, ao inverter, se torna conveniente separar a região em duas partes:

Passo 3

Portanto, como as equações das retas y = ln ⁡ x e y = x podem ser reescritas como x = e y e x = y , invertendo a ordem de integração temos:

∫ 1 e ∫ ln ⁡ x x f x ,   y d y d x = ∫ 0 1 ∫ 1 e y f x ,   y d x d y + ∫ 1 e ∫ y e f x ,   y d x d y

Resposta

∫ 0 1 ∫ 1 e y f x ,   y d x d y + ∫ 1 e ∫ y e f x ,   y d x d y

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