Enunciado

Encontre a fórmula para f^((n)) (x) .

34. f (x) = (1)/(5 x - 1)

Passo 1

Como ele quer a n-ésima derivada a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão que vai se repetindo (aqui a gente usa a regra da divisão):

f^' (x) = (((d)/(d x) (1) * (5 x - 1) - (d)/(d x) (5 x - 1) * (1)))/((5 x - 1)^2)

f^' (x) = ((- 5))/((5 x - 1)^2)

Se a gente derivar mais uma vez:

f^(' ') (x) = (((d)/(d x) (- 5) * (5 x - 1)^2 - (d)/(d x) ((5 x - 1)^2) * (- 5)))/((5 x - 1)^2)

A primeira derivada ali é zero e a segunda a gente tem que usar a regra da cadeia:

f^(' ') (x) = ((- (2 (5 x - 1) (5)) * (- 5)))/((5 x - 1)^4)

f^(' ') (x) = ((2 (5)^2))/((5 x - 1)^3)

E denovo:

f^(' ' ') (x) = (((d)/(d x) (2 (5)^2) * (5 x - 1)^3 - (d)/(d x) ((5 x - 1)^3) * (2 (5)^2)))/((5 x - 1)^6)

A primeira derivada vai ser denovo 0 e a segunda vai precisar da regra da cadeia:

f^(' ' ') (x) = ((- (3 (5 x - 1)^2 (5)) * (2 (5)^2)))/((5 x - 1)^6)

f^(' ' ') (x) = ((- (3 * 2) (5)^3))/((5 x - 1)^4)

Vamos derivar mais uma vez, para a gente conseguir enxergra bem o que acontece:

f^((4)) (x) = (((d)/(d x) (- (3 * 2) (5)^3) * (5 x - 1)^4 - (d)/(d x) ((5 x - 1)^4) * (- (3 * 2) (5)^3)))/((5 x - 1)^8)

f^((4)) (x) = ((- (4 (5 x - 1)^3 (5)) * (- (3 * 2) (5)^3)))/((5 x - 1)^8)

f^((4)) (x) = (((4 * 3 * 2) (5)^4))/((5 x - 1)^5)

Agora podemos fazer algumas observações:

Cada vez que a gente deriva o sinal muda então no termo geral da derivada vai ter que ter um termo assim:

(- 1)^n

Se o n é impar, fica negativo, se for par, fica positivo.

Cada vez que deriva multiplica um 5 no numerador, então no numerador tem que aparecer esse termo:

(5)^n

Além disso um numero maior sempre aparece multiplicando no numerador, percebe que na quarta derivada já temos: (4) (3) (2) (1) , que é equivalente a escrever:

(n) !

E por último, a potência do numerador é sempre um numero maior que a derivada, dessa forma nossa expressão geral fica:

f^((n)) (x) = ((n ! (5)^n))/((5 x - 1)^(n + 1))

Resposta

f^((n)) (x) = ((n ! (5)^n))/((5 x - 1)^(n + 1))

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