Enunciado

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A lei adiabática (sem ganho ou perda de calor) para expansão do ar é P V 1,4 = C , onde P é o número de quilos por unidade quadrada de pressão, V é o número de unidades de volume e C uma constante. Num dado instante, a pressão é de 18.000   g / c m 2 e está crescendo a uma taxa de 3.600   g / c m 2 a cada segundo. Qual será a taxa de variação do volume nesse instante?

Passo 1

Taxas relacionadas pode parecer um pouco complicado, e as vezes é, pra ser sincero kkkk ;-; mas existe um passo a passo que pode nos ajudar muito pra resolver, confere ai:

1): ler bem o enunciado e anotar a informações necessárias.

2): fazer um lindo desenho para ilustrar o problema:

3): encontrar uma relação entre as variáveis, aqui vale tudo trigonometria, geometria, Pitágoras, Tales, lei dos senos, cossenos etc.

4): colocar toda a função em termos de uma única variável, aqui se aplica o mesmo que que no passo anterior, pode soltar a imaginação e a engenhosidade.

5): derivar a, manipular, substituir e zas e zas, aí você encontra a resposta.

Parece aqueles episódios do pateta tentando aprender alguma coisa kkk

Passo 2

Pra ser sincero com você eu não lembrava mais qual era a lei de Boyle, muito menos que é esse tal de Boyle, mas tudo que precisamos é da relação que a questão nós da, P V 1,4 = C , em desconhecidas situações e em um dado instante a questão nos diz que:

P = 18000   g / c m 2

d P d t = 3600   g / c m 2   por segundo

d V d t | p = 18000 = ? Queremos saber a taxa de variação do volume em relação ao tempo nesse dado instante.

Passo 3

Como aqui não tem como fazer um desenho vamos para o item 3), no nosso caso a relação entre valores já foi dada

P V 1,4 = C ⇒ P V 7 5 = C

Passo 4

Último passo gente bora derivar, lembrando que P e V estão em função de t   (tempo), e que C   é uma constante:

d d t P V 7 5 = d d t C ⇒ d P d t ⋅ V 7 5 + 7 5 V 2 5 ⋅ d V d t ⋅ P = 0 ⇒ d V d t = d P d t ⋅ V 7 5 P ⋅ 7 5 V 2 5

Substituindo os valores:

Achei muito estranha esse questão na verdade, acho que foi digitada errada, esqueceram de colocar o volume inicial, pergunte ao seu professor pra vê se é isso mesmo, de qualquer forma da pra deixar tudo em função do volume inicial V .

d V d t = 3600 ⋅ V 7 5 8000 ⋅ 7 5 V 2 5 = 9 ⋅ V 7 5 2 ⋅ 7 5 V 2 5

Como as unidades estavam todas em g / c m 2 e segundos a resposta será dada em c m 3 / s

Resposta

d V d t = 9 ⋅ V 7 5 2 ⋅ 7 5 V 2 5     c m 3 / s

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