Enunciado

a) Escreva, em coordenadas polares, a equação da elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 tomando como pólo a origem e como eixo polar o semi-eixo O x .

b) Escreva, em coordenadas polares, a equação da elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 tondo como pólo o foco F = c , 0 , c > 0 , e como eixo polar a semireta F A , onde A = a , 0 , a > 0 . (Faça e = c a e ρ = a - e c .)

Passo 1

O problema está nos fornecendo a equação de uma elipse em coordenadas cartesianas e nos pede para escrevermos esta mesma equação só que nas coordenadas polares dadas. Em cada caso.

Passo 2

No item a), as coordenados polares tem o pólo na origem e o eixo polar no semi-eixo O x . TODA VEZ QUE ISTO ACONTECER, trata-se do sistema polar PADRÃO, para o qual a transformação entre os sistemas de coordenada é macetada por

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

É mesmo um macete memorizar as equações acima! Elas são tão uteis que, pra resolver este item, basta substituir elas na equação da elipse, já saindo com a resposta final ô:

r 2 cos 2 ⁡ θ a 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ b 2 = 1

Passo 3

Ao contrário do item a), que foi todo macetado pois estávamos no caso “padrão”, o item b) resolve inovar, nos dando um foco e um eixo polar completamente zoados.

Neste caso, a nossa regrinha de substituir x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ direto não se aplica mais, pois agora as equações para x e y são diferentes, e devem ser deduzidas!

Mas calma! Se escrevermos o enunciado na forma de um desenho, tudo fica muito mais claro:

A figura mostra o polo F no ponto c , 0 e eixo polar F A .

Na figura, desenhamos um ponto arbitrário P para deduzir uma relação entre r , θ , x e y . Agora olha bem, pela figura, qual é a projeção do ponto P em x e em y em função dos valores dados? Dá pra ver que agora temos x = r cos ⁡ θ + c e também y = r sin ⁡ θ , não dá? Pois bem, acabamos de encontrar a relação que precisamos! Agora basta substituir x e y na equação da elipse:

r cos ⁡ θ + c 2 a 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ b 2 = 1

Passo 4

Acabou por aqui a questão? Ainda não! O enunciado ainda pede que deixemos o resultado em termos de e = c a e ρ = a - e c .

Vai ser só um trabalhindo de substituição. Na verdade, quando o enunciado pede pra fazermos isso ele no fundo nos fala: “Livre-se e a e b ! Não quero esses dois aqui!”

Notamos que c = a e . Substituindo na nossa equação, temos:

r cos ⁡ θ + a e a 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ b 2 = 1

Agora precisamos nos livrar do a . Para isso, juntamos as definições de e e ρ da seguinte forma:

ρ = a - e c = a - e a e = a 1 - e 2

Ou seja,

a = ρ 1 - e 2

Substituindo na equação da elipse e reorganizando um pouco, chegamos na resposta final:

r cos ⁡ θ ρ 1 - e 2 + e 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ b 2 = 1

Resposta

a) r 2 cos 2 ⁡ θ a 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ b 2 = 1  

b) r cos ⁡ θ ρ 1 - e 2 + e 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ b 2 = 1

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