Enunciado

Para cada função velocidade v ( t ) dada:

  1. Gere a curva velocidade versus tempo e use-a para fazer uma conjectura sobre o sinal do deslocamento sobre os intervalos de tempo dados.
  2. Use um CAS para encontrar o deslocamento.

v t = 0,5 - t   c o s   π t ; 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

(a) A conjectura que ele fala para gente fazer é baseada nessa fórmulinha:

D = ∫ t 1 t 2 v ( t ) d t

Ela diz que o deslocamento é a área líquida do gráfico da nossa curva no intervalo dado. Olhar a área líquida é dar sinal positivo para a parte da área acima do eixo t e sinal negativo para a parte que estiver abaixo, e somar tudo algebricamente.

Então, para analisar o sinal do deslocamento, vamos analisar o sinal da área líquida. Vamos ver se a área acima do eixo t é maior que a área abaixo do eixo (deslocamento positivo), menor (deslocamento negativo) ou igual (deslocamento nulo).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos usar o Geobebra (dá para acessar pelo navegador mesmo) para gerar a curva:

Dá para ver que área acima do eixo é maior do que a área abaixo, porque só tem área acima do eixo. Então a gente vai esperar um deslocamento positivo.

Passo 3

(b)Agora é só calcular integral:

D = ∫ t 1 t 2 v ( t ) d t

Que com os nossos dados fica:

D = ∫ 0 1 0,5 - t   c o s   π t d t

Usando o CAS do Geogebra (pelo navegador também):

D = - cos ⁡ π t π 2 - t   s e n   π t π + 0,5   t ​ 0 1

D = - cos ⁡ π π 2 + 0,5 + cos ⁡ 0 π 2 = 2 π 2 + 0,5

Nossa estimativa estava certinha. Deu positivo.

Resposta

  1. Positivo
  2. D = 2 π 2 + 0,5
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