Enunciado

Encontre o vetor, não com determinantes, mas usando propriedades do produto vetorial.

i + j × i - j

Passo 1

Não poderemos usar determinante para calcular o produto vetorial, mas temos algumas propriedades que vão nos ajudar a calcular, vamos usar que a × b = a b sin ⁡ α , a + b × c + d = a × c + b × c + a × d + b × d e que qualquer vetor a × b é ortogonal tanto à a quanto à b , temos que a × b resulta em um vetor com direção perpendicular ao plano que passa por a e b . O sentido desse vetor é determinado pela regra da mão direita: com os dedos da mão direita curvados girando no sentido de a para b , seu polegar estará apontando na direção e sentido de a × b .

Vamos abordar a expressão em duas etapas, primeiro vamos reescrever a expressão:

i + j × i - j = i × i + j × i + i - j + j × - j

Passo 2

Agora vamos usar a definição para o cálculo do módulo do produto vetorial

i × i = i i sin ⁡ 0 ° = 0 j × i = j i sin ⁡ 90 ° = 1 i × - j = i - j sin ⁡ 90 ° = 1 j × - j = j - j sin ⁡ 180 ° = 0

Usando a regra da mão direita explicada acima temos que a partir dos vetores i e i temos que o vetor i × i é 0 (nulo), a partir dos vetores j e i temos que o vetor j × i está na direção e sentido do vetor - k , a partir dos vetores i e - j temos que o vetor i × - j está na direção e sentido do vetor - k e a partir dos vetores j e - j é 0 (nulo).

Passo 3

i + j × i - j = i × i + j × i + i - j + j × - j

= - 2 k

Resposta

= - 2 k

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