Enunciado

Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais r 1 t = < t , t 2 , t 3 > e r 2 t = < 1 + 2 t ,   1 + 6 t , 1 + 14 t > . As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam?

Passo 1

2 objetos viajam no espaço com as seguintes trajetórias:

r 1 t = < t , t 2 , t 3 > ,   r 2 t = < 1 + 2 t , 1 + 6 t , 1 + 14 t >

Queremos saber se as partículas colidem ou se as trajetórias se interceptam.

Passo 2

Para sabermos se as partículas colidem, devemos igualar as coordenadas r 1 e r 2 e ver se há um t onde as 3 coordenadas são iguais.

t = 1 + 2 t t 2 = 1 + 6 t t 3 = 1 + 14 t

t = - 1 t 2 - 6 t - 1 = 0 t 3 - 14 t - 1 = 0

Na primeira coordenada, o único valor que iguala a equação é t = - 1 . Vamos aplicar esse valor para vermos se as partículas estão na mesma coordenada y e z para esse valor t = - 1 :

- 1 2 - 6 - 1 - 1 = 0 - 1 3 - 14 - 1 - 1 = 0

6 ≠ 0 12 ≠ 0

Passo 3

Para sabermos se elas se interceptam vamos ver se elas ocupam o mesmo lugar no espaço, mesmo que não ao mesmo tempo. Pra isso, devemos igualar as coordenadas também, mas em termos de x , y , z . Pra r 1 :

r 1 t = < t , t 2 , t 3 > ,

Se x = t , temos:

r 1 t = < x , x 2 , x 3 > ,

Para r 2 :

r 2 t = < 1 + 2 t , 1 + 6 t , 1 + 14 t >

Se x = 1 + 2 t , temos:

x - 1 = 2 t

t = x - 1 2

E logo:

r 2 t = < x , 1 + 6 x - 1 2 , 1 + 14 x - 1 2 >

r 2 t = < x , 1 + 3 x - 3,1 + 7 x - 7 >

r 2 t = < x , 3 x - 2,7 x - 6 >

Igualando, temos:

x = x x 2 = 3 x - 2 x 3 = 7 x - 6

Da segunda linha, temos:

x 2 = 3 x - 2

x 2 - 3 x + 2 = 0

Sendo um polinômio de segundo grau, vale Bháskara:

x 2 - 3 x + 2 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 ∙ a ∙ c 2 ∙ a

x 1,2 = - - 3 ± - 3 2 - 4 ∙ 1 ∙ 2 2 ∙ 1

x 1,2 = 3 ± 9 - 8 2 = 3 ± 1 2 = 3 ± 1 2 = 3 ± 1 2 = 4 2 = 2 3 - 1 2 = 2 2 = 1

Logo:

x 2 - 3 x + 2 = x - 1 x - 2 = 0

x = 1   o u   x = 2

Show, esses são os valores de x que fazem as coordenadas x e y de r 1 e r 2 serem iguais. Pra se interceptarem, a coordenada z tem que ser igual também. Testando a igualdade:

x 3 = 7 x - 6

Temos, pra x = 1 :

1 3 = 7 - 6

1 = 1

Pra x = 2 :

2 3 = 7 ∙ 2 - 6

8 = 14 - 6

8 = 8

Portanto sim, as curvas vão se interceptar! E duas vezes, tanto pra x = 1 quanto pra x = 2 ! Em termos de pontos isso seria:

x , x 2 , x 3 → x = 1   o u   2 → 1,1 , 1 2,4 , 8

Resposta

As partículas não colidem.

As trajetórias se interceptam em 1,1 , 1 e 2,4 , 8

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Sejam f → t = a → t + b → t 2 e g → t = t i → + sin ⁡ t j → + cos ⁡ t k → , com a → = i → + j → e b → = 2 i → - j → ; 0 ≤ t ≤ 2 π . Calcular:(b) f → t ⋅ g → ( t )
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Sejam f → t = a → t + b → t 2 e g → t = t i → + sin ⁡ t j → + cos ⁡ t k → , com a → = i → + j → e b → = 2 i → - j → ; 0 ≤ t ≤ 2 π . Calcular: f → t + g → ( t )
Esboçar a trajetória de uma partícula P , sabendo que seu movimento é descrito por:(h)r → t = 8 - 4 sen ⁡ t i → + 2 cos ⁡ t j → + 4 sen ⁡ t k →