Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.1 - Ex. 50
Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais e . As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam?
Passo 1
objetos viajam no espaço com as seguintes trajetórias:
Queremos saber se as partículas colidem ou se as trajetórias se interceptam.
Passo 2
Para sabermos se as partículas colidem, devemos igualar as coordenadas e e ver se há um onde as coordenadas são iguais.
Na primeira coordenada, o único valor que iguala a equação é . Vamos aplicar esse valor para vermos se as partículas estão na mesma coordenada e para esse valor :
Passo 3
Para sabermos se elas se interceptam vamos ver se elas ocupam o mesmo lugar no espaço, mesmo que não ao mesmo tempo. Pra isso, devemos igualar as coordenadas também, mas em termos de . Pra
Se , temos:
Para :
Se , temos:
E logo:
Igualando, temos:
Da segunda linha, temos:
Sendo um polinômio de segundo grau, vale Bháskara:
Logo:
Show, esses são os valores de que fazem as coordenadas e de e serem iguais. Pra se interceptarem, a coordenada tem que ser igual também. Testando a igualdade:
Temos, pra :
Pra :
Portanto sim, as curvas vão se interceptar! E duas vezes, tanto pra quanto pra ! Em termos de pontos isso seria:
Resposta
As partículas não colidem.
As trajetórias se interceptam em e