Enunciado

Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas diferentes, é sempre importante saber se eles vão colidir. (Um míssil vai atingir seu alvo móvel? Duas aeronaves vão colidir?) As curvas podem se interceptar, mas precisamos saber se os objetos estarão na mesma posição no mesmo instante. Suponha que as trajetórias de duas partículas sejam dadas pelas seguintes funções vetoriais r 1 t = < t 2,7 t - 12 , t 2 > e r 2 t = < 4 t - 3 , t 2 , 5 t - 6 > para t ≥ 0 .   As partículas colidem?

Passo 1

2 Objetos viajam no espaço com as seguintes trajetórias:

r 1 t = < t 2 , 7 t - 12 , t 2 > ,   r 2 t = < 4 t - 3 , t 2 , 5 t - 6 >

Queremos saber se as partículas colidem.

Passo 2

Para as partículas colidirem, as trajetórias devem se interceptar no mesmo tempo t .

Assim, r 1 t = r 2 ( t )

Vamos igualar cada coordenada de r 1 e r 2 :

t 2 = 4 t - 3 7 t - 12 = t 2 t 2 = 5 t - 6

t - 1 t - 3 = 0 t - 3 t - 4 = 0 t - 3 t - 2 = 0

Observado as equações, vemos que as coordenas r 1 e r 2 são as mesmas quando t = 3 . Nas outras situações ( t = 1 , t = 2 , t = 4 ) , uma das coordenadas é igual em r 1 e r 2 , mas as outras não são.

Assim, as partículas colidem quando t = 3 .

Resposta

Colidem em t = 3

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