Enunciado

Se E o é o sólido do Exercício 18 com função densidade ρ x , y , z = x 2 + y 2 , determine as seguintes quantidades, com precisão de três casas decimais.

  1. A massa
  2. O centro de massa
  3. O momento de inércia em relação ao eixo z

Passo 1

No Exercício 18 E é limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 , y = 3 x e z = 0 no primeiro octante e achamos que podemos representar as variações por

0 ≤ z ≤ 9 - y 2

3 x ≤ y ≤ 3

0 ≤ x ≤ 1

(a) A massa é dada por

m = ∭ E ρ   d V

m = ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 ∫ 0 9 - y 2 ( x 2 + y 2 )   d z d y d x

Como essa questão é marcada como SCA, podemos calcular a integral usando um software, então

m = 56 5 = 11,2

Passo 2

(b) O centro de massa é ( x - , y - , z - ) onde

x - = 1 m ∭ E x   ρ   d V = 1 m ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 ∫ 0 9 - y 2 x ( x 2 + y 2 )   d z d y d x

x - ≈ 1 11,2 4,19697 = 0,37 5

y - = 1 m ∭ E y   ρ   d V = 1 m ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 ∫ 0 9 - y 2 y ( x 2 + y 2 )   d z d y d x

y - = 5 56 63 π 8

y - = 45 π 64 ≈ 2,209

z - = 1 m ∭ E z   ρ   d V = 1 m ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 ∫ 0 9 - y 2 z ( x 2 + y 2 )   d z d y d x

z - = 5 56 21 2

z - = 15 16 = 0,9375

Passo 3

(c) o momento de inércia em relação ao eixo z é dado por

I z = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z   d V

I z = ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 ∫ 0 9 - y 2 x 2 + y 2 2   d z d y d x

I z ≈ 59,794

Resposta

  1. m = 11,200

  2. 0 . 375 ,   2 . 209 ,   0 . 937

I z ≈ 59,794

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Calcule o momento de inércia do corpo homogêneo x + y + z ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , em relação ao eixo z .
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Considere um cone circular reto homogêneo de altura h e raio de base R .Calcule o centro de massa.Calcule o momento de inércia em relação ao seu eixo.
Aplique o Teorema de Steiner ao item b do Exercício 4.
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