Enunciado

Use a regra da cadeia para determinar d z // d t ou d w // d t .

6-

w = x y + y z^2 , x = e^t , y = e^t s e n t , z = e^t cos t

Passo 1

Pela regra da cadeia sabemos que a derivada de w pode ser expressa de acordo com a seguinte somatória.

(d w)/(d t) = (d w)/(d x) (d x)/(d t) + (d w)/(d y) (d y)/(d t) + (d w)/(d z) (d z)/(d t)

O que acaba sendo uma somatória de 3 d w // d t ahhaha

Vamos começar com x :

(d w)/(d x) = y

(d x)/(d t) = e^t

Logo:

(d w)/(d x) (d x)/(d t) = y e^t

Passo 2

Agora para y :

(d w)/(d y) = x + z^2

(d y)/(d t) = (d (e^t))/(d t) s en t + e^t (d)/(d t) ( sen t ) = e^t s en t + e^t cos t

Logo:

(d w)/(d y) (d y)/(d t) = ( x + z^2 ) e^t ( cos t + sin t )

Passo 3

Agora para z :

(d w)/(d z) = 2 y z

(d z)/(d t) = (d (e^t))/(d t) cos t + e^t (d)/(d t) ( cos t ) = e^t cos t - e^t sin t

Logo:

(d w)/(d z) (d z)/(d t) = 2 y z e^t ( cos t - sin t )

Passo 4

Juntando todos os passos temos:

(d w)/(d t) = y e^t + ( x + z^2 ) e^t ( cos t + sin t ) + 2 y z e^t ( cos t - sin t )

Resposta

(d w)/(d t) = y e^t + ( x + z^2 ) e^t ( cos t + sin t ) + 2 y z e^t ( cos t - sin t )

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