Enunciado

(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.

(b) Determine r → ' ( t ) .

(c) Desenhe o vetor de posição r → ( t ) e o vetor tangente r → ' ( t ) para o valor dado de t.

r → t = 2 s e n   t i ^ + 3 cos ⁡ t j ^ ,     t = π / 3

Passo 1

Para esboçarmos o gráfico da equação vetorial podemos montar uma tabela para nos ajudar.

Já o calculo de r → ' ( t ) temos que derivar cada coordenada da equação vetorial r → ( t ) .

Passo 2

a) Montando a tabela para plotar o gráfico:

O gráfico é:

Passo 3

b) A derivada de r → t = 2 s e n   t i ^ + 3 cos ⁡ t j ^ é:

Derivada da componente i ^ :

d d t 2   s e n   t = 2 cos ⁡ t

Derivada da componente j ^ :

d d t 3 cos ⁡ t = - 3   s e n   t

Desta forma r → ' ( t ) é:

r → ' t = 2 cos ⁡ t ,   - 3   s e n   t

Passo 4

c) O vetor posição é um vetor que parte da origem e no nosso caso queremos que ele vá até o paramêtro t = π / 3 .

O vetor tangente é um vetor dado pela derivada da equação vetorial, e queremos o vetor tangente ao parâmetro t = π / 3   .

O ponto que corresponde a t = π / 3 , é r → π / 3 = 3 , 3 / 2   .

Desta forma os vetores são:

Resposta

b)   r → ' t = 2 cos ⁡ t ,   - 3   s e n   t

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