Enunciado

Existe um ponto da curva do exercício 45 onde o plano osculador é paralelo ao plano x + y + z = 1 ?

Passo 1

O exercício 45 nos da a curva x = t 3 ,       y = 3 t ,     z = t 4 , então para encontrar um plano osculador precisamos primeiro calcular quem é o vetor tangente e depois o vetor normal.

Para calcular o vetor tangente utilizamos a equação:

T → t = r → ' ( t ) r → ' ( t )

Para calular o vetor normal utilizamos a equação:

N → t = T → ' ( t ) T → ' ( t )

Passo 2

Para calcular o vetor tangente precisamos da derivada da curva do exercício 45, vamos chama-lá de r → ( t ) .

r → ' t = 3 t 2 , 3 , 4 t 3

Desta forma o vetor tangente é:

T → t = 3 t 2 , 3 , 4 t 3 | 3 t 2 + 3 + 4 t 3 | = 3 t 2 , 3 , 4 t 3 16 t 6 + 9 t 4 + 9

Agora para calcularmos o vetor normal, iremos precisar da derivada do vetor tangente.

T → ' t = - 6 t 8 t 6 - 9 , 3 48 t 5 + 18 t 3 , 36 t 2 ( t 4 + 3 )

Desta forma o vetor normal é:

N → t = - 6 t 8 t 6 - 9 , 3 48 t 5 + 18 t 3 , 36 t 2 ( t 4 + 3 ) 144 t 8 t 6 - 9 2 + 9 96 t 5 + 36 t 3 2 + 5,184 t 12 + 31,104 t 8 + 46,656 t 4

Passo 3

Mas queremos saber se o plano osculador da curva do exercício 45 é paralelo ao plano x + y + z = 1 para isso devemos calcular o vetor binormal que é dado por:

B → t = T → ( t ) × N → ( t )

Fazendo esse calculo com o auxilio de CAS como é falado na dica do exercício, encontramos que o vetor binormal é:

B → t = b 6 t , - 2 t 3 , - 3

Onde b é:

b = t 16 t 6 + 9 t 4 + 9 16 t 2 8 t 6 - 9 2 + 96 t 5 + 36 t 3 2 + 576 t 12 + 3456 t 8 + 5184 t 4

Desta formas temos que o vetor binormal é paralelo ao veto 6 t , - 2 t 3 , - 3 , logo para ser paralelo ao plano dado ele precisa ser paralelo ao vetor normal do plano 1,1 , 1 .

Então para que isso seja verdade todas as componentes dos dois vetores precisam ser iguais, mas já conseguimos ver que em z isso não é verdade, logo não existe nenhum vetor da curva do exercício 45 que é paralelo ao plano x + y + z = 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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