Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 46
Existe um ponto da curva do exercício 45 onde o plano osculador é paralelo ao plano ?
Passo 1
O exercício 45 nos da a curva , então para encontrar um plano osculador precisamos primeiro calcular quem é o vetor tangente e depois o vetor normal.
Para calcular o vetor tangente utilizamos a equação:
Para calular o vetor normal utilizamos a equação:
Passo 2
Para calcular o vetor tangente precisamos da derivada da curva do exercício 45, vamos chama-lá de .
Desta forma o vetor tangente é:
Agora para calcularmos o vetor normal, iremos precisar da derivada do vetor tangente.
Desta forma o vetor normal é:
Passo 3
Mas queremos saber se o plano osculador da curva do exercício 45 é paralelo ao plano para isso devemos calcular o vetor binormal que é dado por:
Fazendo esse calculo com o auxilio de CAS como é falado na dica do exercício, encontramos que o vetor binormal é:
Onde b é:
Desta formas temos que o vetor binormal é paralelo ao veto , logo para ser paralelo ao plano dado ele precisa ser paralelo ao vetor normal do plano .
Então para que isso seja verdade todas as componentes dos dois vetores precisam ser iguais, mas já conseguimos ver que em isso não é verdade, logo não existe nenhum vetor da curva do exercício 45 que é paralelo ao plano .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)