1. Calcule o comprimento da curva dada:

e)

gamma(t) = (t, ln(t)), t ∈ [1, e]

Passo 1

Como queremos calcular o comprimento da curva e ele nos deu a equação parametrizada, vamos usar o seguinte:

L γ = ∫ a b γ ' t d t

Que nos dá o comprimento da curva γ entre os pontos a , b . Primeiro vamos achar γ ' t .

γ t = t , ln ⁡ t

Derivando,

γ ' t = 1 , 1 t

Passo 2

Agora, vamos encontrar γ ' t e em seguida integrar,

γ ' t = 1 2 + 1 t 2

Assim,

γ ' t = 1 + 1 t 2

Passo 3

Integrando, temos:

L γ = ∫ 1 e γ ' t d t

Isto é,

L γ = ∫ 1 e 1 + 1 t 2 d t

Logo,

L γ = ∫ 1 e t 2 + 1 t d t

Para resolvermos essa integral, vamos fazer a seguinte substituição:

t = t g θ

Derivando,

d t = s e c 2 θ d θ

Como 1 + t g 2 θ = sec 2 ⁡ θ :

d t = 1 + t 2 d t

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração. Assim,

t = 1 :

t g θ = 1 →   θ = π 4

t = e :

t g θ = e →   θ = a r c t g e

Passo 4

Então, temo o seguinte:

L γ = ∫ π 4 a r c t g ( e ) 1 + t g 2 θ t g θ s e c 2 θ d θ

Então,

L γ = ∫ π 4 a r c t g ( e ) s e c 3 θ t g θ d θ

Reescrevendo o termo integrante:

s e c 3 θ t g θ = sec ⁡ θ t g θ sec 2 ⁡ θ →   s e c 3 θ t g θ = csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ

Logo,

L γ = ∫ π 4 a r c t g ( e ) csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Usando que 1 + t g 2 θ = sec 2 ⁡ θ :

L γ = ∫ π 4 a r c t g ( e ) csc ⁡ θ 1 + t g 2 θ d θ

Isto é,

L γ = ∫ π 4 a r c t g ( e ) ( csc ⁡ θ + t g θ sec ⁡ θ ) d θ

Separando em dois termos:

L γ = ∫ π 4 a r c t g ( e ) csc ⁡ θ d θ + ∫ π 4 a r c t g ( e ) t g θ sec ⁡ θ d θ

Não esquece: ∫ csc ⁡ x d x = - l n | c s c x + c o t g ( x ) | + c

Não esquece: ∫ t g x sec ⁡ x d x = s e c ( x ) + c

L γ = - l n | c s c θ + c o t g ( θ ) π 4 a r c t g e + s e c ⁡ ( θ ) π 4 a r c t g e

Fazendo as contas:

L γ = 1 - 2 + 1 + e 2 + ln ⁡ 1 + 2 1 + 1 + e 2

Resposta

L γ = 1 - 2 + 1 + e 2 + ln ⁡ 1 + 2 1 + 1 + e 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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