Enunciado

Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x. Use sua calculadora para encontrar a superfície com precisão de quatro casas decimais.

x = sen ⁡ t ,   y = sin ⁡ 2 t ;     0 ≤ t ≤ π 2

Passo 1

Vamos derivar x = sen ⁡ t :

d x d t = cos ⁡ t

E agora, derivar   y = sin ⁡ 2 t :

d y d t = 2 cos ⁡ 2 t

Então:

d x d t 2 + d y d t 2 = cos ⁡ t 2 + ( 2 cos ⁡ 2 t ) 2 = cos 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ 2 t

Passo 2

Escrevendo uma integral para a área de superfície, temos que:

S = ∫ 2 π y   d s

E um intervalo de   0 ≤ t ≤ π 2 , isso implica que nossa integral de superfície será:

S = ∫ 0 π 2 2 π sen ⁡ 2 t   cos 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ 2 t d t   ≈ 8,0285

Resposta

≈ 8,0285

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