Enunciado

Assumindo que as equações nos Exercícios 15-20 definem x e y implicitamente como funções deriváveis x = f ( t ) ,   y = g ( t ) , encontre o coeficiente angular da curva x = f ( t ) ,   y = g ( t ) no valor determinado de t .

15. x 3 + 2 t 2 = 9,2 y 3 - 3 t 2 = 4 ,   t = 2

Passo 1

Fala, galerinha!

Essa questão é um pouquinho diferente das anteriores, primeiro porque ela só pede o coeficiente angular da curva e segundo porque agora não temos uma expressão explícita para x e y em termos de t . O que nós temos que fazer primeiro é identificar x = f ( t ) ,   y = g ( t ) e, a partir disso, obter o coeficiente angular

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

Preparados?

Passo 2

Com as expressões do enunciado nós conseguimos

x 3 + 2 t 2 = 9 ⇒ x 3 = 9 - 2 t 2 ⇒ x = 9 - 2 t 2 1 / 3

e

2 y 3 - 3 t 2 = 4 ⇒ 2 y 3 = 4 + 3 t 2 ⇒ y = ( 2 + 3 2 t 2 ) 1 / 3

Agora que temos as expressões para x = f ( t ) ,   y = g ( t ) , podemos calcular as derivadas em relação a t :

d x d t = d d t 9 - 2 t 2 1 / 3 =   - 1 3 4 t ( 9   -   2 t 2 ) 2 / 3

d y d t = d d t ( 2 + 3 2 t 2 ) 1 / 3 = 1 3 3 t ( 2   +   3 2 t 2 ) 2 / 3   = t ( 2   +   3 2 t 2 ) 2 / 3

Passo 3

Nesse passo, vamos calcular o coeficiente angular da curva. Já temos as derivadas necessárias, agora é só substituir

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = t ( 2   +   3 2 t 2 ) 2 / 3 -   1 3 4 t ( 9   -   2 t 2 ) 2 / 3

⇒ y ' = - 3 4 ( 9   -   2 t 2 ) 2 / 3 ( 2   +   3 2 t 2 ) 2 / 3 = - 3 4 9   -   2 t 2 2   +   3 2 t 2 2 / 3

Em t = 2 , esse coeficiente é

y ' | t = 2 = - 3 4 9   -   2 t 2 2   +   3 2 t 2 2 / 3 | t = 2 =   - 3 4 9   -   2   ⋅   ( 2 ) 2 2   +   3 2   ⋅   ( 2 ) 2 2 / 3

⇒ y ' | t = 2 =   - 3 4 1 2 3 2 / 3

⇒ y ' | t = 2 = - 3 4   ⋅   2 2 1 2 / 3

⇒ y ' | t = 2 = - 3 16

É só isso por enquanto. Nos vemos na próxima!

Resposta

- 3 16

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