Enunciado

Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir use uma calculadora pra encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais.

x = t - t 2 ,     y = 4 3 t 3 2   ,     1 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Para encontrar o comprimento de uma curva a fórmula nos diz que:

L = ∫ a b 1 + d y d x 2   d x  

Substituindo pelas equações paramétricas teremos que:

L = ∫ a b 1 + d y d t d x d t 2 d x d t d t  

Passando d x d t   ao quadrado dentro da raiz e tirando o MMC ficamos com:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t  

Passo 2

Agora que já temos a fórmula podemos substituir os valores dados, diferenciando x   e   y ,   certo?

x = t - t 2

d x = 1 - 2 t   d t

d x d t 2 = 1 - 4 t + 4 t 2

y = 4 3 t 3 2

d y = 4 3 * 3 2 t 3 2 - 2 2   d t

d y = 2 t 1 2   d t

d y d t 2 = 4 t

Passo 3

Agora é só substituir, sem esquecer dos limites de integração né:

L = ∫ 1 2 1 - 4 t + 4 t 2 + 4 t   d t  

L = ∫ 1 2 1 + 4 t 2   d t  

Como o exercício pediu para aproximar o comprimento temos que:

L = ∫ 1 2 1 + 4 t 2   d t   ≈ 3,1678

Resposta

L = ∫ 1 2 1 + 4 t 2   d t   ≈ 3,1678

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