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Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir use uma calculadora pra encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais.

x = ln ⁡ t ,     y = t + 1   ,     1 ≤ t ≤ 5

Passo 1

Para encontrar o comprimento de uma curva a fórmula nos diz que:

L = ∫ a b 1 + d y d x 2   d x  

Substituindo pelas equações paramétricas teremos que:

L = ∫ a b 1 + d y d t d x d t 2 d x d t d t  

Passando d x d t   ao quadrado dentro da raiz e tirando o MMC ficamos com:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t  

Passo 2

Agora que já temos a fórmula podemos substituir os valores dados, diferenciando x   e   y ,   certo?

x = ln ⁡ t      

d x = 1 t   d t

d x d t 2 = t - 2

y = t + 1

d y = 1 2 t + 1 - 1 2   d t

d y d t 2 = 1 4 t + 1 - 1  

Passo 3

Só substituir, sem esquecer dos limites de integração né:

L = ∫ 1 5 t - 2 + 1 4 t + 1 - 1   d t  

Aproximando o comprimento temos que:

L = ∫ 1 5 t - 2 + 1 4 t + 1 - 1   d t   ≈ 1,9310

Resposta

L = ∫ 1 5 t - 2 + 1 4 t + 1 - 1   d t   ≈ 1,9310

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