Enunciado

Escreva a integral tripla de uma função contínua arbitrária f x , y , z em cooredenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado.

Passo 1

Esse problema fica melhor escrito em coordenadas esféricas, vamos lembrar a forma:

∭ E f x , y , z d V = ∫ c d ∫ α β ∫ a b f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Onde E é uma cunha esférica dada por:

E = ρ , θ , ϕ | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ θ ≤ β , c ≤ ϕ ≤ d

Passo 2

Temos então pela figura que:

1 ≤ ρ ≤ 2

π 2 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Pronto, agora é só substituir:

∫ 0 π 2 ∫ π 2 2 π ∫ 1 2 f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ π 2 2 π ∫ 1 2 f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

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Calcule o volume do conjunto x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 ⋅ a ⋅ x e z ≥ x 2 + y 2 , a0 .
Calculee) ∫ ∫ ∫ B z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é conjuntoz ≥ x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .
Calculec) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 , x ≥ 0 .
Calculeb) ∫ ∫ ∫ B z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto z ≥ 0 , 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .
Calcule a massa do sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2 Supondo que a densida no ponto ( x , y , z ) é proporcional à distância deste ponto ao plano x y .