Enunciado

Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V , onde E é delimitado pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 no primeiro octante.

Passo 1

Vamos lembrar a forma das coordenadas esféricas:

∭ E f x , y , z d V = ∫ c d ∫ α β ∫ a b f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Onde E é uma cunha esférica dada por:

E = ρ , θ , ϕ | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ θ ≤ β , c ≤ ϕ ≤ d

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ                 y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ                 z = ρ cos ⁡ ϕ

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Temos então que:

0 ≤ ρ ≤ 3

0 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Pronto, agora é só substituir:

∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 e ρ 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 e ρ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 π 2 sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 3 e ρ ρ 2 d ρ

Passo 3

Vamos resolver as três separadamente:

Com a primeira:

∫ 0 π 2 d θ = θ 0 π 2 = π 2 - 0 = π 2

Com a segunda:

∫ 0 π 2 sen ⁡ ϕ d ϕ = - cos ⁡ ϕ 0 π 2 = - cos ⁡ π 2 - - cos ⁡ 0 = - 0 - - 1 = 1

Passo 4

Com a ultima vamos integrar por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos fazer então u = ρ 2 e d v = e ρ d ρ :

d u = 2 ρ d ρ e v = e ρ

Vamos substituir agora:

∫ 0 3 e ρ ρ 2 d ρ = ρ 2 e ρ - ∫ 0 3 e ρ 2 ρ d ρ = ρ 2 e ρ 0 3 - 2 ∫ 0 3 e ρ ρ d ρ

Vamos integrar por partes novamente:

Vamos fazer então u = ρ e d v = e ρ d ρ :

d u = d ρ e v = e ρ

Vamos substituir agora:

∫ 0 3 e ρ ρ d ρ = ρ e ρ 0 3 - ∫ 0 3 e ρ d ρ = 3 e 3 - e ρ 0 3 = 3 e 3 - e 3 - e 0 = 2 e 3 + 1

Voltando a expressão:

∫ 0 3 e ρ ρ 2 d ρ = ρ 2 e ρ - ∫ 0 3 e ρ 2 ρ d ρ = ρ 2 e ρ 0 3 - 2 ∫ 0 3 e ρ ρ d ρ = 3 2 e 3 - 2 2 e 3 + 1 = 9 e 3 - 4 e 3 - 2 = 5 e 3 - 2

Passo 5

Pronto, agora é só juntar:

∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 π 2 sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 3 e ρ ρ 2 d ρ = π 2 . 1 . 5 e 3 - 2 = π 2 5 e 3 - 2

Resposta

∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V = π 2 5 e 3 - 2

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Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 + z 2 ) . d V , onde T é a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 .