Calcule

b) ∫ ∫ ∫ B z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto z >= 0 , 1 <= x^2 + y^2 + z^2 <= 4 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a integral tripla usando uma transformação para coordenadas esféricas e calcular o jacobiano, além de analisar o intervalo de integração.

Passo 2

Bom, vamos começar! Temos que nosso conjunto é dado e precisamos nos atentar ao fato de que z ≥ 0 , ou seja, nossa esfera será meia esfera apenas. Aplicando a transformação para coordenadas esféricas, temos que

x = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ θ

z = ρ ⋅ cos ⁡ ϕ

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y ⋅ d z = ρ 2 ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ d ρ ⋅ d θ ⋅ d ϕ . Os novos intervalos de integração serão

1 ≤ ρ ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Para ϕ temos esse intervalo especifico por causa que teremos apenas sua metade positiva de z . Substituindo na integral, ficamos com

∫ ∫ ∫ B z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z   = ∫ 0 π ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 ρ ⋅ cos ⁡ ϕ ⋅ ρ 2 ⋅ sin ⁡ ϕ d ρ ⋅ d θ ⋅ d ϕ =

= ∫ 0 π 2 sin ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ ϕ ⋅ d ϕ ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π d θ ⋅ ∫ 1 2 ρ 3 ⋅ d ρ = 1 2 ⋅ sin 2 ⁡ ϕ 0 π 2 ⋅ 2 π ⋅ 16 4 - 1 4 =

= 1 ⋅ π ⋅ 15 4 = 15 ⋅ π 4

Resposta

∫ ∫ ∫ B z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 15 ⋅ π 4

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