Enunciado

Escreva, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inércia em relação ao eixo z .

O hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , z ≥ 0 ; ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Podemos descrever a variação de z como

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

Enquanto x 2 + y 2 ≤ 1 onde temos as variações

- 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2

- 1 ≤ x ≤ 1

(a) A massa é dada por

m = ∭ E ρ   d V

m = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

Passo 2

(b) O centro de massa é ( x - , y - , z - ) onde

x - = 1 m ∭ E x   ρ   d V = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

y - = 1 m ∭ E y   ρ   d V = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 y x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

z - = 1 m ∭ E z   ρ   d V = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

Passo 3

(c) o momento de inércia em relação ao eixo z é dado por

I z = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z   d V

I z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

Resposta

(a)

m = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

(b) ( x - , y - , z - ) onde:

x - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

y - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 y x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

z - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

(c)

I z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

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