Enunciado

Escreva, mas não calcule, uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (a) eixo x e (b) eixo y.

y = x   e - x , 1 ≤ x ≤ 3

Passo 1

Bom, essa é uma questão introdutória sobre áreas de superfície de revolução: é pedido apenas para escrever a integral que fornecerá a área, mas não vamos precisar calcular ela (ufa né?). Além disso, devemos escrever tanto a expressão considerando a rotação em torno do eixo x (item a) como em torno do eixo y (item b). Para isso, é sempre bom fazer um esboço da curva né?

Observe que quando x varia de 1 até 0 , y vai de 3 e - 3 até e - 1 .

Passo 2

Em torno do eixo x, a fórmula para a integral é

A = ∫ a b 2 π   y   1 + ( y ' ) 2   d x

Calculando y ' , obtemos

y ' = 1 ⋅ e - x + x e - x ⋅ ( - 1 ) = ( 1 - x )   e - x

Assim,

1 + ( y ' ) 2 = 1 + ( 1 - x ) 2 e - 2 x

Desta forma, a integral será

A = 2 π   ∫ 1 3 x   e - x   1 + ( 1 - x ) 2 e - 2 x   d x

Passo 3

Para a rotação em torno do eixo y, a integral é dada por

A = ∫ a b 2 π   x   1 + ( x ' ) 2   d y ,

onde x é dado como função de y . Assim, precisamos inverter a função para escrever x como função de y .

Todavia, neste caso, é impossível inverter a equação e escrever x como função de y . Note que eu não estou falando que a inversa não existe, ela existe pois a função é claramente bijetora no intervalo, estou apenas falando que com as funções que conhecemos, não conseguimos isolar x na equação dada para a função! Assim, é impossível escrever essa integral.

Resposta

a) A = 2 π   ∫ 1 3 x   e - x   1 + ( 1 - x ) 2 e - 2 x   d x

b) Impossível escrever a integral.

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Use um CAS para encontrar a área exata da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo dado. E i x oy em 1 ≤ y ≤ 2 . 8 x y 2 = 2 y 6 + 1