Enunciado

Escreva, mas não calcule, uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (a) eixo x e (b) eixo y.

y = x 4 , 0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Eaeee, belezinha??? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função:

y = x 4

No intervalo 0 ≤ x ≤ 1 .

Bom... essa é uma questão introdutória sobre áreas de superfície de revolução.

Queremos encontrar a integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x e eixo y .

Mas a gente não precisa calcular a integral, viu?

Para isso, é sempre bom fazer um esboço da curva né?

Agora vamos rotacionar em torno dos eixos e ver o que acontece 😉

Passo 2

Rotacionando em torno do eixo x , a integral é calculada na variável x e é dada por

A = ∫ a b 2 π   y   1 + ( y ' ) 2   d x

Assim, como y = x 4 , temos que y ' = 4 x 3 .

Desta forma, temos que:

1 + ( y ' ) 2 = 1 + 16 x 6

Em consequência disso, ao substituir na fórmula, ficamos com:

A = 2 π   ∫ 0 1 x 4 1 + 16 x 6   d x

Passo 3

Para a rotação em torno do eixo y , a integral é dada por

A = ∫ a b 2 π   x   1 + ( x ' ) 2   d y ,

onde x é dado como função de y .

Assim, para y = x 4 , o trecho da curva considerado pode ser dado x = y 1 / 4 .

Portanto:

x ' = 1 4   y - 3 4 = 1 4 y 3 4 ∴

1 + ( x ' ) 2 = 1 + 1 16 y 3 / 2  

Além disso, note que os limites de integração na variável y também vão de 0 até 1 .

Desta forma,

A = 2 π   ∫ 0 1 y 1 / 4 1 + 1 16 y 3 / 2   d y

Resposta

a) A = 2 π   ∫ 0 1 x 4 1 + 16 x 6   d x

b) A = 2 π   ∫ 0 1 y 1 / 4 1 + 1 16 y 3 / 2   d y

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