Enunciado

Escreva, mas não calcule, uma integral que represente a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.

57. x = 1 + t e t ,       y = t 2 + 1 ,         0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Precisamos escrever uma integral que represente a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.

Sabemos que a área de uma superfície é S = ∫ a b 2 π y   d s

Sendo que d s =   d x d t 2 + d y d t 2

Então vamos calcular primeiro d x d t 2 + d y d t 2

t e t + e t 2 + t 2 + 1 e t + e t 2 t 2 = e t t + 1 2 + e t t 2 + 2 t + 1 2

= e 2 t t + 1 2 + e 2 t t + 1 4 = e 2 t t + 1 2 [ 1 + t + 1 2 ]

Agora vamos jogar isso na nossa integral:

S =   2 π ∫ 0 1 t 2 + 1 e t e 2 t t + 1 2 [ 1 + t + 1 2 ]   d t  

= 2 π ∫ 0 1 t 2 + 1 e 2 t t + 1 t 2 + 2 t + 2   d t ≈ 103,5999

Resposta

57. = 2 π ∫ 0 1 t 2 + 1 e 2 t t + 1 t 2 + 2 t + 2   d t ≈ 103,5999

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